Objectif :
a) Définir une méthode d'analyse simplifiée des courbes
expérimentales et identifier le nombre de facteurs
influençant
les courbes analysées.
b) Déterminer un nombre sans dimension qui sera
caractéristique
de chacun de ces facteurs et qui se retrouvera dans les autres
analyses faisant intervenir ces facteurs.
c) Se libérer de la notion de quantité qui est une des
grandes problématiques de la biochimie moderne, car les
produits purifiés sont extrêmement coûteux et
parfois même rare.
d) Passer d'une analyse sur deux dimensions à une analyse sur une
dimension, car la base de temps est considérée dans la
méthode comme étant la variation elle-même. Ceci
simplifie grandement les calculs.
e) Utiliser
une méthode simple, accessible à tous sans avoir à
faire appelle aux mécanismes complexes de la régulation
en utilisant une méthode de rapprochement des intervalles pour
identifier les points de la courbe de mesures.
Exemple d’application :
Nous avons choisit de
présenter une analyse sur des données indépendantes
reconnues. Nous les avons trouvées sur le site internet :
http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/
dans un fichier xls nommé chutamortie.
Le choix de cet exemple
provient du fait de la forme des courbes qui correspond a une forme
que j'ai souvent rencontré en pratiquant mon métier,
qui est la régulation.
En première
remarque l’analyse s’effectue dans ce cas sur un
phénomène.
Il s’agit du déplacement de la matière d’un lieu de
l’espace à un autre sous l’action d’une force. Notre
objectif est de comprendre comment s’effectue ce déplacement.
En d’autres termes, nous ne recherchons pas qu’à écrire
un modèle mathématique représentant le
phénomène, nous recherchons un modèle
mathématique qui mette en valeur les principales forces
influençant ce phénomène.
En deuxième
remarque, le mesure sont effectuée sur deux dimensions, mais
la passerelle des temps proposée permet d’écrire les
équations sur une seule dimension.
En troisième
remarque, les valeurs mesurées sont issues d’une mesure
particulière, donc dans des conditions particulières.
Ces conditions particulières vont données les lois
observées ou encore le fonctionnement.
En quatrième
remarque, nous travaillons sur un systèmes naturellement
stable, car une fois la vitesse maximale atteinte celle-ce reste
constante. Nous ne travaillons pas sur le positionnement dans
l’espace. Nous pouvons dire d’après nos connaissances que
cet état stable est obtenu à l’équilibre de
deux forces contraire, qui sont l’attraction et la résistance
du fluide dans lequel se déroule l’expérience.
Les valeurs mesurées sont :
Nous pouvons dire que la variation
apparaît entre l’équilibre initial et l'équilibre
final, et, en voyant la forme de la courbe construite à l’aide
des points de mesures, nous pouvons dire que le facteur dominant est
de la forme : signal (vitesse) = équilibre(état)
initial + k.(1-exp(-t/jo))
où k est la
constante du nouvel équilibre = état(éq.)
initial + D, avec D est la différence entre niveaux initial et
final.
En supposant qu'un seul facteur intervient, nous
pouvons dire que la valeur de jo sera donnée à 63% de
la variation (Broida). Mais ce cas est assez rare et improbable car
nous avons souvent plusieurs facteurs perturbateurs, qui
interagissent sans cesse avec le milieu réactif. En d'autres
termes, nous pouvons dire que la vitesse instantanée interagit
avec les forces qui créent le mouvement, ce qui se nomme, en
régulation, le retour unitaire. Ce dernier s'écrit
mathématiquement de la forme du signal que nous avons
proposé
ci-dessus. De plus nous pouvons dire que le facteur d'amortissement
du début, ou encore le facteur qui retarde le démarrage,
apparaîtrait sur des courbes de plus grande précision.
Le principal problème rencontré est de déterminer
comment intervient l'autorégulation du phénomène.
Est-ce deux ou plusieurs fonctions en série qui se suivent ou
est-ce une fonction intégrée dans une autre fonction,
en d'autres mots, est-ce que jo n'est pas en fait une nouvelle
fonction ? Selon Broida on peut ramener une fonction du nième
ordre à une fonction retard en facteur d'une fonction du
premier ordre. Cela simplifie les calculs pour les besoins de la
régulation, cependant notre objectif est tout autre. Nous
voulons identifier les principaux facteurs dominant, intervenant sur
le phénomène. Il est possible d'utiliser la
méthode
de calcul de Broida pour déterminer la fonction retard et
celle qui permet de déterminer la valeur de jo lorsque nous
avons un seul facteur d'action.
En utilisant la passerelle
des temps (du temps linéaire régulier vers le temps
réel exponentiel, c'est-à-dire celui de la variation),
l'expression mathématique devient :
Pour la courbe :
vitesse instantanée = vitesse initiale + vitesse maximale ( 1
- exp ( -t/jo))
d'où : vitesse = 0,278 ( 1 - exp ( - t/ jo
)), avec jo = 1 (environs)
Si nous observons avec plus de
précision les deux premiers points de la courbe, nous nous
apercevons que jo est en fait le résultat d'une fonction qui
n'est autre que la représentation d'un nouveau facteur jo'
influençant la réaction déjà
représentée,
car jo varie. En d'autres mots, jo s'écrit :
jo = k’
( 1 - exp ( -t / jo’’ ))
Avec jo’’ facteur
caractéristique du démarrage.
Mais cet aspect
n’est
pas celui recherché ici.
Il est à noter que
cette deuxième boucle n'est apparente que sur les deux
premiers points de la courbe.
En revenant dans le
repère
temporel coutumier pour la courbe mesurée, cette expression
nous permet d'écrire vitesse = 0.278*(1- (e^(-t / jo))), mais
nous remarquons que plusieurs forces interviennent (frottement,
attraction). Ceci induit que nous devons dans un premier temps
identifier la valeur ou fonction de jo.
Identification de
la
fonction :
Nous avons deux
forces
représentant chacune une fonction qui varie d’une manière
liées.
Ceci s’écrit
selon ma méthode :
(vitesse max.) * (1
-
(e^(-(temps) / ((attraction)- (résistance du frottement))))
En d’autres
termes :=0,278*(1-(EXP(-temps)/(0,9676-(0,4676*(1-EXP(-(temps)/1)))))))
Méthode
enseignée
au CNAM, par rapprochement des intervalles.But
recherché 0.209
à 0.95 et 0.243 à 1.3
En cour de
réalisation
temps initial
vitesse
initiale = ..m/s
vitesse (mesuré) = ..m/s
t = 0,05s
vitesse mesuré = 0,014 m/s
vitesse modélisé =
0,01432967 m/s
t = 0,10s vitesse mesuré = 0,028m/s
vitesse
modélisé = 0,02854196 m/s
t = 0,15s vitesse mesuré
= 0,0418m/s
vitesse modélisé = 0,04257084 m/s
t =
0,20s vitesse mesuré = 0,0555m/s
vitesse modélisé
= 0,05635453 m/s
t = 0,25s vitesse mesuré =
0,0690m/s
vitesse modélisé = 0,0698362 m/s
t =
0,30s vitesse mesuré = 0,0821m/s
vitesse modélisé
= 0,08296451 m/s
t = 0,35s vitesse mesuré =
0,0949m/s
vitesse modélisé = 0,09569404 m/s
t = 0,40s vitesse
mesuré
= 0,107m/s
vitesse modélisé = 0,10798557 m/s
t = 0,45s vitesse
mesuré
= 0,119m/s
vitesse modélisé = 0,11980621 m/s
t = 0,50s vitesse
mesuré
= 0,131m/s
vitesse modélisé = 0,13112944 m/s
t = 0,55s vitesse
mesuré
= 0,142m/s
vitesse modélisé = 0,14193498 m/s
t = 0,60s vitesse
mesuré
= 0,152m/s
vitesse modélisé = 0,15220857 m/s
t = 0,65s vitesse
mesuré
= 0,162m/s
vitesse modélisé = 0,16194169 m/s
t = 0,70s vitesse
mesuré
= 0,171m/s
vitesse modélisé = 0,17113114 m/s
t = 0,75s vitesse
mesuré
= 0,180m/s
vitesse modélisé = 0,17977861m/s
t = 0,80s vitesse
mesuré
= 0,188m/s
vitesse modélisé = 0,18789018 m/s
t = 0,85s vitesse
mesuré
= 0,196m/s
vitesse modélisé = 0,19547584 m/s
t = 0,90s vitesse
mesuré
= 0,203m/s
vitesse modélisé = 0,20254889 m/s
t = 0,95s vitesse
mesuré
= 0,209m/s
vitesse modélisé = 0,20912549 m/s
t = 1,00s vitesse
mesuré
= 0,215m/s
vitesse modélisé = 0,21522411 m/s
t = 1,05s vitesse
mesuré
= 0,221m/s
vitesse modélisé = 0,22086503 m/s
t = 1,10s vitesse
mesuré
= 0,226m/s
vitesse modélisé = 0,22606993 m/s
t = 1,15s vitesse
mesuré
= 0,231m/s
vitesse modélisé = 0,2308614 m/s
t = 1,20s vitesse
mesuré
= 0,235m/s
vitesse modélisé = 0,23526261 m/s
t = 1,25s vitesse
mesuré
= 0,239m/s
vitesse modélisé = 0,23929697 m/s
t = 1,30s vitesse
mesuré
= 0,243m/s
vitesse modélisé = 0,24298781 m/s
t = 1,35s vitesse
mesuré
= 0,247m/s
vitesse modélisé = 0,24635815 m/s
t = 1,40s vitesse
mesuré
= 0,250m/s
vitesse modélisé = 0,24943048 m/s
t = 1,45s vitesse
mesuré
= 0,252m/s
vitesse modélisé = 0,25222657 m/s
t = 1,50s vitesse
mesuré
= 0,255m/s
vitesse modélisé = 0,25476739 m/s
t = 1,55s vitesse
mesuré
= 0,257m/s
vitesse modélisé = 0,25707296 m/s
t = 1,60s vitesse
mesuré
= 0,259m/s
vitesse modélisé = 0,25916227 m/s
t = 1,65s vitesse
mesuré
= 0,261m/s
vitesse modélisé = 0,26105327 m/s
t = 1,70s vitesse
mesuré
= 0,263m/s
vitesse modélisé = 0,26276284 m/s
t = 1,75s vitesse
mesuré
= 0,264m/s
vitesse modélisé = 0,26430675 m/s
t = 1,80s vitesse
mesuré
= 0,266m/s
vitesse modélisé = 0,26569969 m/s
t = 1,85s vitesse
mesuré
= 0,267m/s
vitesse modélisé = 0,26695531 m/s
t = 1,90s vitesse
mesuré
= 0,268m/s
vitesse modélisé = 0,26808621 m/s
t = 1,95s vitesse
mesuré
= 0,269m/s
vitesse modélisé = 0,26910403 m/s
t = 2,00s vitesse
mesuré
= 0,270m/s
vitesse modélisé = 0,27001946 m/s
t = 2,05s vitesse
mesuré
= 0,271m/s
vitesse modélisé = 0,27084229 m/s
t = 2,10s vitesse
mesuré
= 0,272m/s
vitesse modélisé = 0,27158148 m/s
t = 2,15s vitesse
mesuré
= 0,273m/s
vitesse modélisé = 0,27224522 m/s
t = 2,20s vitesse
mesuré
= 0,273m/s
vitesse modélisé = 0,27284095 m/s
t = 2,25s vitesse
mesuré
= 0,274m/s
vitesse modélisé = 0,27337542 m/s
t = 2,30s vitesse
mesuré
= 0,274m/s
vitesse modélisé = 0,27385479 m/s
t = 2,35s vitesse
mesuré
= 0,275m/s
vitesse modélisé = 0,27428461 m/s
t = 2,40s vitesse
mesuré
= 0,275m/s
vitesse modélisé = 0,2746699 m/s
t = 2,45s vitesse
mesuré
= 0,276m/s
vitesse modélisé = 0,27501521 m/s
t = 2,50s vitesse
mesuré
= 0,276m/s
vitesse modélisé = 0,27532463 m/s
t = 2,55s vitesse
mesuré
= 0,276m/s
vitesse modélisé = 0,27560187 m/s
t = 2,60s vitesse
mesuré
= 0,276m/s
vitesse modélisé = 0,27585024 m/s
t = 2,65s vitesse
mesuré
= 0,277m/s
vitesse modélisé = 0,27607273 m/s
t = 2,70s vitesse
mesuré
= 0,277m/s
vitesse modélisé = 0,27627203 m/s
t = 2,75s vitesse
mesuré
= 0,277m/s
vitesse modélisé = 0,27645056 m/s
t = 2,80s vitesse
mesuré
= 0,277m/s
vitesse modélisé = 0,27661049 m/s
t = 2,85s vitesse
mesuré
= 0,277m/s
vitesse modélisé = 0,27675374 m/s
t = 2,90s vitesse
mesuré
= 0,278m/s
vitesse modélisé = 0,27688208 m/s
t = 2,95s vitesse
mesuré
= 0,278m/s
vitesse modélisé = 0,27699706m/s
t = 3,00s vitesse
mesuré
= 0,278m/s
vitesse modélisé = 0,27710007 m/s
t = 3,05s vitesse
mesuré
= 0,278 m/s
vitesse modélisé = 0,27719238 m/s
t = 3,10s vitesse
mesuré
= 0,278 m/s
vitesse modélisé = 0,27727511 m/s
t = 3,15s vitesse
mesuré
= 0,278m/s
vitesse modélisé = 0,27734925 m/s
t = 3,20s vitesse
mesuré
= 0,278m/s
vitesse
modélisé
= 0,27741571m/s
t = 3,25s vitesse
mesuré
= 0,278m/s
vitesse modélisé = 0,2774753 m/s
t = 3,30s vitesse
mesuré
= 0,278m/s
vitesse modélisé = 0,27752873 m/s
t = 3,35s vitesse
mesuré
= 0,278m/s
vitesse modélisé = 27757664 m/s
t = 3,40s vitesse
mesuré
= 0,278m/s
vitesse modélisé = 0,27761961m/s
Nous
pouvons observer que le modèle proposé permet de
décrire exactement la courbe mesurée.
Nous pouvons
observer que le modèle proposé permet de décrire
exactement la courbe C mesurée, et que nous retrouvons la
même
valeur pour jo, quelque soit la concentration.
De
l'observation nous pouvons reconnaître une forme type
exponentielle à la courbe. Cette forme est du type y = k ( 1 –
exp ( - t / jo ))
La
particularité de ce type de courbe est de ne pouvoir
décrire
que des fonctions d'un état d'équilibre à un
autre. En d’autres termes, ce type de courbe permet de décrire
le passage d'un état particulier à un autre. En
développant le raisonnement nous pouvons penser que ce
passage, cette variation possède sa propre base de temps.
Cette base de temps particulière, nous semble être un
outil intéressant pour la suite de notre recherche. En
d'autres mots, nous cherchons un correctif à une base de temps
logarithmique basée sur la rotation d'une planète
particulière. En d'autres mots encore, notre objectif est de
nous séparer d'une des deux dimensions de la mesure de
manière
à mettre en évidence le ou les facteurs intervenant
dans la variation ou encore phénomène
étudié.
Pour clarifier la proposition, nous avons une information qui nous
est donnée à l'aide de deux dimensions, la
première
la variation elle-même et la seconde qui est la base de temps
de notre planète. Nous décidons de nous séparer
de la base de temps de la planète, pour la remplacer par la
base de temps de la variation. En observant la courbe, nous pouvons
dire que la base de temps de notre planète est une base
logarithmique pour le phénomène étudiée.
Résultats
et Discutions :
Nous
avons
présenté le modèle mathématique aux
mesures de l'expérience et nous avons constaté qu'il
apparaissait un nombre sans dimension caractéristique des
objets mesurés. En d'autres termes, les courbes analysées
peuvent bien s'écrire sous la forme proposée, et elles
confirment la méthode du fait de l'identification des facteurs
influençant le phénomène. Bien que la
méthode
soit issue de l'observation, nous reconnaissons dans la forme de
cette courbe une des applications utilisées en
régulation.
Cette application est nommée le retour unitaire, et indique
que le produit fini influence le produit initial. Cette remarque
crée
un lien entre deux sciences bien distincte, la biologie et la
régulation, nous remarquons toutefois que leurs démarches
et leurs buts sont différents et qu'il faut donc adapter le
concept de régulation à définir ce qui est, en
opposition à son concept qui recherche une modélisation
de ce que nous voulons. Ainsi plusieurs formules de base
légèrement
modifiées pourraient nous permettre de mieux définir
les phénomènes biologiques. En exemple la fonction
retard décrite par Broida.
Méthode
:
La
méthode
trouve sa justification en régulation, mais notre but ici ne
travail que sur l'observation, et l'application de cette observation
d'une manière simple.
Nous
utilisons la méthode des intervalles pour déterminer la
valeur de jo. En d'autres termes nous accordons à jo une
valeur au hasard, et la changeons en nous rapprochant de manière
à obtenir la valeur mesurée, pour chaque temps choisit.
Nous
utilisons la méthode des intervalles pour déterminer la
valeur de jo. En d'autres termes nous accordons à jo une
valeur au hasard, et la changeons en nous rapprochant de manière
à obtenir la valeur mesurée, pour chaque temps choisit.
Si nous obtenons une valeur constante pour jo, ceci veut dire qu'un
seul facteur est identifiable sur cette courbe.
Abréviation
:
t :
temps en
seconde repère de la base de temps de la planète.
Y =
k (
1-exp(-t/jo)) : passerelle des temps (schéma du retour
unitaire sans harmoniques)
k :
valeur
du nouvel état d'équilibre, se présente sous la
forme d'un plateau.
Jo
: nombre
sans dimension caractéristique du facteur étudié.
References:
Annotation :
L’analyse
est issue d’une démarche personnelle, ainsi les valeurs
indiquées sont issus de la lecture d’une mesure
expérimentale.
Conclusion:
De
part la
démonstration, les nombreux objectifs sont
réalisés,
il reste toutefois à affiner la méthode pour les
nombreux cas particuliers que la nature nous présente. Nous
pouvons penser aussi que cette méthode intervenant sur un
paramètre clef de la plupart de nos mesures, pourrait être
d'une grande utilité en de nombreuses sciences.